Question

16．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且過(guò)點(diǎn)（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若斜率為2的直線l與拋物線C相切于點(diǎn)A，求直線l的方程和切點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得拋物線C的方程；
（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式為0，求出b，即可求直線l的方程和切點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，可設(shè)：C：y²=2px
∵y²=2px過(guò)點(diǎn)（1，1），∴1=2p，解得$p=\frac{1}{2}$…（4分）
∴拋物線C的方程為y²=x…（5分）
（2）∵直線l的斜率為2，∴設(shè)l：y=2x+b
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+b\\{y^2}=x\end{array}\right.$得2y²-y+b=0，…（7分）
∵l與C相切，∴△=（-1）²-8b=0，∴$b=\frac{1}{8}$…（8分）
把$b=\frac{1}{8}$代入y=2x+b得，$y=2x+\frac{1}{8}$，即l：16x-8y+1=0…（10分）
把$b=\frac{1}{8}$代入2y²-y+b=0得$y=\frac{1}{4}$，∴$x=\frac{1}{16}$，∴$A（{\frac{1}{16}，\frac{1}{4}}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．