Question

20．在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2$\sqrt{2}$，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）異面直線PD與AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能證明BD⊥平面PAC．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-4），$\overrightarrow{AC}$=（（2，2$\sqrt{2}$，0），利用向量法能求出異面直線PD與AC所成的角的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥AD，
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…（2分）
則B（4，0，0），P（0，0，4），$D（0，2\sqrt{2}，0）$，$C（2，2\sqrt{2}，0）$．
所以 $\overrightarrow{BD}=（-4，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$，…（4分）
所以$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=（-4）×2+2\sqrt{2}×2\sqrt{2}+0×0=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=（-4）×0+2\sqrt{2}×0+0×4=0$．
所以 BD⊥AC，BD⊥AP．
因?yàn)?nbsp;AP∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
所以 BD⊥平面PAC．…（6分）
解：（2）$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-4），$\overrightarrow{AC}$=（（2，2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)異面直線PD與AC所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{8}{\sqrt{24}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴異面直線PD與AC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．