Question

學(xué)校食堂每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有兩套套餐A，B可供選擇（每人選一套套餐）．調(diào)查資料表明：凡是星期一選A套餐的，下星期一會(huì)有20%改選B套餐．而選B的下星期一則有30%改選A，若用a_n，b_n表示在第n個(gè)星期一分別選A，B的人數(shù)
（1）試用a_n，b_n表示a_n+1
（2）試確定a_n與a_n+1的關(guān)系，并求當(dāng)a₁=a時(shí)的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析：（1）依題意可知：a_n+1=（1-20%）a_n+30%b_n，由此能用a_n，b_n表示a_n+1．
（2）由b_n=1000-a_n，知a_n+1=

4

5

an+

3

10

(1000-an)=

1

2

an+300．所以a_n+1-600=

1

2

an-300=

1

2

(an-600），由此能求出當(dāng)a₁=a時(shí)的通項(xiàng)a_n．

解答：解：（1）依題意可知：a_n+1=（1-20%）a_n+30%b_n
=

4

5

an+

3

10

bn（3分）
（2）∵b_n=1000-a_n；
∴a_n+1=

4

5

an+

3

10

(1000-an)=

1

2

an+300（5分）
∴a_n+1-600=

1

2

an-300=

1

2

(an-600）
即數(shù)列{a_n-600}是公比為

1

2

的等比數(shù)列（9分）
首項(xiàng)為a₁-600=a-600，
∴a_n-600=（a-600）•（

1

2

）^n-1（11分）
故通項(xiàng)a_n=600+（a-600）•（

1

2

）^n-1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，理清題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解．