【題目】如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.

（1）求新橋BC的長(zhǎng);

（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?

【答案】(1) 150 m (2) |OM|=10 m

【解析】試題分析：本題是應(yīng)用題，我們可用解析法來解決，為此以為原點(diǎn)，以向東，向北為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.（1）點(diǎn)坐標(biāo)炎， ，因此要求的長(zhǎng)，就要求得點(diǎn)坐標(biāo)，已知說明直線斜率為，這樣直線方程可立即寫出，又，故斜率也能得出，這樣方程已知，兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)隨之而得；（2）實(shí)質(zhì)就是圓半徑最大，即線段上哪個(gè)點(diǎn)到直線的距離最大，為此設(shè)，由，圓半徑是圓心到直線的距離，而求它的最大值，要考慮條件古橋兩端和到該圓上任一點(diǎn)的距離均不少于80，列出不等式組，可求得的范圍，進(jìn)而求得最大值．當(dāng)然本題如果用解三角形的知識(shí)也可以解決．

試題解析：

（1）如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則， ，由題意，直線方程為．又，故直線方程為，由，解得，即，所以 ；

（2）設(shè)，即 ，由（1）直線的一般方程為，圓的半徑為，由題意要求，由于，因此 ，∴∴，所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值，此時(shí)圓面積最大．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；

（Ⅱ）判斷方程（為的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，說明理由；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）對(duì)任意的， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；

(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且對(duì)任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數(shù)F(x)＝在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請(qǐng)將(2)中結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： 的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．

（1）當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

（2）當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（）求的單調(diào)區(qū)間．

（）證明：當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．

（）設(shè)，其中若恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2017·泰安模擬)如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E為AD的中點(diǎn)，F為B1C1的中點(diǎn)．

(1)求證：A1F∥平面ECC1；

(2)在CD上是否存在一點(diǎn)G，使BG⊥平面ECC1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線.

（1）將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大，并求出此最大值.

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