Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2•4^n-1．

Answer 1

分析 4a_n-3S_n=2，當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n-1-3S_n-1=2，兩式相減可得：4a_n-4a_n-1-3a_n=0，a_n=4a_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，4a₁-3S₁=2，解得：：：a₁=2，數(shù)列{a_n}是2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由4a_n-3S_n=2，①
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n-1-3S_n-1=2，②4a_n-4a_n-1-3（S_n-S_n-1）=0，即4a_n-4a_n-1-3a_n=0，
整理得：a_n=4a_n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，4a₁-3S₁=2，解得：：：a₁=2，由a₁=2，得a_n≠0，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4，其中n≥2．
故數(shù)列{a_n}是2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a_n=a₁•q^n-1=2•4^n-1，
故答案為：a_n=2•4^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的證明，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．