Question

設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求與的關(guān)系；

（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）

（2）只需在內(nèi)滿足：恒成立

（3）

解析:

（1）由題意得                    …………1分

  而，

所以、的關(guān)系為                             ………… 2分

（2）由（1）知，

令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

只需在內(nèi)滿足：恒成立.       ………… 4分

① 當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img width=13 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/157/388357.gif">＞，所以＜0，＜0，

 ∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；         ………… 5分

② 當(dāng)＞0時(shí)，

其圖像為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，

∴，只需，即，

∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意.      …………  7分

③ 當(dāng)＜0時(shí)，，其圖像為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，只要，即時(shí)，在恒成立，

故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為       ………… 9分

（3）∵在上是減函數(shù)，

 ∴時(shí)，；時(shí)，，

即，                                       …………10  分

當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；

 ② 當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，

又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

  ∴

＜， 不合題意；              …………12 分、

③ 當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，

＜2，又在上是減函數(shù)，

故只需＞， ，

而，

， 即  ＞2，解得＞ ，…………13  分

綜上，的取值范圍是.                             ……14分