Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若圓O是以F₁、F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與圓O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$，求m²+k²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，三角形周長l=2a+2c=6，即可求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由直線l與圓O相切，得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，代入即可求得$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，即可求得m²，k²的值，即可求得m²+k²的值．

解答 解：（I）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
則a=2c…（1分）
又三角形周長l=2a+2c=6，解得：a=2，c=1，
由b²=a²-c²=4-1=3，…（2分）
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（4分）
（II）由直線l與圓O相切，得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，…（6分）
由題意可知圓O在橢圓內(nèi)，所以直線必與橢圓相交，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…（7分）
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
=k²•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$ ）+m²，
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，…（8分）
x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7{m}^{2}-12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，…（9分）
因為m²=1+k²，
∴x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，…（10分）
又因為$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，解得：k²=$\frac{1}{2}$，…（11分）
m²=1+k²=$\frac{3}{2}$，
m²+k²=2，
∴m²+k²的值2．…（12分）

點評 本題考查橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點到直線的距離公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．