Question

已知向量，函數(shù)．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象的對稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則建立f（x）的關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，令這個角等于kπ，求出x的值，得到對稱中心的橫坐標，代入函數(shù)解析式得到對稱中心的縱坐標，確定出對稱中心；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把已知的b²=ac代入，化簡后根據(jù)基本不等式可得cosx的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得x的范圍，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得函數(shù)的值域及此時x的范圍．
解答：解：（1）f（x）=sincos+cos²
=sin+（1+cos）
=sin+cos+
=sin（+）+，
令sin（+）=0，即+=kπ（k∈Z），解得x=π（k∈Z），
則對稱中心為（π，）（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，
∴根據(jù)余弦定理得：cosx==≥=，
∴≤cosx＜1，即0＜x≤，
∴＜+≤，
∵|-|＞|-|，
∴sin＜sin（）≤1，
∴＜sin（）+≤1+，
則x∈（0，]時，函數(shù)f（x）的值域為（，1+]．
點評：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，基本不等式及正弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．