函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不包括數(shù)0，對定義域中的任意實(shí)數(shù)，在定義域中存在使，，且滿足以下3個(gè)條件。

（1）是定義域中的數(shù)，，則

（2），（是一個(gè)正的常數(shù)）

（3）當(dāng)時(shí)，。

證明：（1）是奇函數(shù)；

（2）是周期函數(shù)，并求出其周期；

（3）在內(nèi)為減函數(shù)。

 

 

【答案】

證：（1）對定義域中的，由題設(shè)知在定義域中存在

使，，

則

∴為奇函數(shù)

（2）因，∴，于是

若，則

若，則

仍有。

∴為周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期。

（3）先證在內(nèi)為減函數(shù)，事實(shí)上，設(shè)，

則，則

（當(dāng)時(shí)，）。

所以

當(dāng)時(shí)，

，于是

即在內(nèi)，也是減函數(shù)，從而命題得證。

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足以下三個(gè)條件：
①x1、x2、x1-x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f(x1-x2)=
f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）；
③當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0．
（1）判斷f（x1-x2）與f（x2-x1）之間的關(guān)系，并推斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，2a）上的單調(diào)性，并證明；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?4a，0）∪（0，4a）時(shí)，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計(jì)必修一數(shù)學(xué)(人教A版) 人教A版 題型：022

由于任意x和－x均要在定義域內(nèi)，故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于________對稱．所以，我們在判定函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．如果其定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，那么它沒有奇偶性)．然后再判斷________與________的關(guān)系，從而確定其奇偶性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆河南省高一第一次階段數(shù)學(xué)試卷（奧賽班）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足以下三個(gè)條件：

①、是定義域中的數(shù)時(shí)，有；

②是定義域中的一個(gè)數(shù)）；

③當(dāng)時(shí)，．

（1）判斷與之間的關(guān)系，并推斷函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；

（3）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918454980074041/SYS201211191846478788928488_ST.files/image012.png">時(shí)，

①求的值；②求不等式的解集．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆北京師大附中高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不包括數(shù)0，對定義域中的任意實(shí)數(shù)，在定義域中存在使，，且滿足以下3個(gè)條件。

（1）是定義域中的數(shù)，，則

（2），（是一個(gè)正的常數(shù)）

（3）當(dāng)時(shí)，。

證明：（1）是奇函數(shù)；

（2）是周期函數(shù)，并求出其周期；

（3）在內(nèi)為減函數(shù)。

 

 

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