Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 當x≠0時，f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+5}}$，結合基本不等式，可得函數(shù)的最大值．

解答 解：當x=0時，f（0）=0，
當x≠0時，f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+5}}$≤$\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{{x}^{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}+5}}$=$\frac{1}{3}$，
故函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$的最大值為$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，基本不等式的應用，難度中檔．