3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f(x)=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)解關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.

分析 (Ⅰ)利用f(0)=0,f(-1)=-f(1),即可求a、b的值;
(Ⅱ)利用(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),f(x)是奇函數(shù),即可解關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,解得b=1,
所以$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$.
又由f(1)=-f(-1),解得a=2,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),
又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t21)=f(-2t2+1).
因f(x)是減函數(shù),由上式推得t2-2t>-2t2+1,
即3t2-2t-1>0解不等式可得t>1或$t<-\frac{1}{3}$,
故不等式的解集為:$\left\{{t\left|{t>1或t<-\frac{1}{3}}\right.}\right\}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,考查學(xué)生解不等式的能力,正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.

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A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{4}$D.1

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