Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．若a，b∈N，則A∩B≠∅的概率為

 

；若a，b∈R，則A∩B=∅的概率為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析a、b可得（a，b）的情況，令函數(shù)f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，分析可得（a，b）能取的情況數(shù)，進(jìn)而由幾何概型的意義可得答案；
（2）因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，確定其表示的平面區(qū)域，由（Ⅰ）可知A∩B=∅的（a，b）對應(yīng)的關(guān)系式，借助線性規(guī)劃分析，可得其區(qū)域，進(jìn)而由幾何概型的意義計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)閍，b∈N，且0≤a≤2，1≤b≤3，
（a，b）可�。�0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3）共9組．
令函數(shù)f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調(diào)增函數(shù)．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
所以（a，b）只能�。�0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7組．
所以A∩B≠∅的概率為

7

9

．

（2）因?yàn)閍∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）對應(yīng)的區(qū)域邊長為2的，
正方形（如圖），面積為4．
由（Ⅰ）可知，要使A∩B=∅，只須f(x)min=-a+

b

2

-1≥0?2a-b+2≤0，
所以滿足A∩B=∅的（a，b）對應(yīng)的區(qū)域是如圖陰影部分．
所以S_陰影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．
所以A∩B=∅的概率為P=

1 4

4

=

1

16

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查幾何概型的意義與幾何概型的計(jì)算，解題時注意（1）（2）中a、b的范圍不同，因而采取不同的分析、計(jì)算方法．