Question

設(shè)點P在曲線y=

1

2

e^x上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,兩點間距離公式的應(yīng)用

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)y=

1

2

e^x與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱，要求|PQ|的最小值，只要求出函數(shù)y=

1

2

e^x上的點P（x，

1

2

e^x）到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

，設(shè)g（x）=

1

2

e^x-x，求出g（x）_min=1-ln2，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=

1

2

e^x與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱
函數(shù)y=

1

2

e^x上的點P（x，

1

2

e^x）到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

設(shè)g（x）=

1

2

e^x-x，（x＞0）則g′（x）=

1

2

e^x-1
由g′（x）=

1

2

e^x-1≥0可得x≥ln2，
由g′（x）=

1

2

e^x-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在[ln2，+∞）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=ln2時，函數(shù)g（x）_min=1-ln2，d_min=

1-ln2

2

由圖象關(guān)于y=x對稱得：|PQ|最小值為2d_min=

2

(1-ln2)．
故答案為：

2

(1-ln2)．

點評：本題主要考查了點到直線的距離公式的應(yīng)用，注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，根據(jù)互為反函數(shù)的對稱性把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離，構(gòu)造很好．