16.已知函數(shù)$f(x)=\frac{lnx}{x}$.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值.

分析 (1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)明確的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)分類討論極值點(diǎn)與區(qū)間[m,2m]的位置關(guān)系,從而確定函數(shù)f(x)在[m,2m]上的單調(diào)性,即可求函數(shù)的最大值.

解答 解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)
求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)>0,而x>0,可得0<x<e,
令f′(x)<0,可得x>e,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞);
(2)①當(dāng)0<2m≤e,即0<m≤$\frac{e}{2}$時,由(1)知,函數(shù)f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(2m)=$\frac{ln(2m)}{2m}$,
②當(dāng)m≥e時,由(1)知,函數(shù)f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(m)=$\frac{lnm}{m}$,
③當(dāng)m<e<2m,即$\frac{e}{2}$<m<e時,由(1)知,函數(shù)f(x)在[m,e]上單調(diào)遞增,(e,2m]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(e)=$\frac{1}{e}$.

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時,經(jīng)常會運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.屬于中檔題.

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