(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)fx)=x4bx2cxd,當(dāng)xt1時,fx)有極小值.
(1)若b=-6時,函數(shù)fx)有極大值,求實數(shù)c的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若存在實數(shù)c,使函數(shù)fx)在閉區(qū)間[m-2,m+2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)fx)只有一個極值點,且存在t2∈(t1,t1+1),使f ′(t2)=0,證明:函數(shù)gx)=fx)-x2t1x在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)最多有一個零點.
(1)-16<c<16.(2)-2<m<0,或m>4.(3)同解析
(1)因為 fx)=x4bx2cxd,
所以hx)=f ′(x)=x3-12xc.……2分
由題設(shè),方程hx)=0有三個互異的實根.
考察函數(shù)hx)=x3-12xc,則h ′(x)=0,得x=±2.
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
h ′(x

0

0

hx

c+16 (極大值)

c-16( 極小值)

所以 故-16<c<16. ………………………………………………5分
(2)存在c∈(-16,16),使f ′(x)≥0,即x3-12x≥-c,  (*)
所以x3-12x>-16,
即(x-2)2x+4)>0(*)在區(qū)間[m-2,m+2]上恒成立. …………7分
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.
所以m-2>2,即-2<m<0,或m>4. ………………………9分
(3)由題設(shè),可得存在α,β∈R,
使f ′(x)=x3+2bxc=(xt1)(x2αxβ),
x2αxβ≥0恒成立.又f´(t2)=0,且在xt2兩側(cè)同號,
所以f´(x) =(xt1)(xt22
另一方面,
g ′(x)=x3+(2b-1)xt1cx3+2bxc-(xt1)=(xt1)[(xt22-1].
因為 t1 < x < t2,且 t2t1<1,所以-1< t1t2 < xt2 <0.所以 0<(xt22<1,
所以(xt22-1<0.
xt1>0,所以g ′(x)<0,所以gx)在(t1t2)內(nèi)單調(diào)減.
從而gx)在(t1,t2)內(nèi)最多有一個零點.…………………………………16分
練習(xí)冊系列答案
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