Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+2-m=0
（1）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由直線方程可判斷，直線恒過(guò)：（1，2）點(diǎn)，代入圓的方程后，可判斷（1，2）點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，進(jìn)而判斷出直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到結(jié)論．
（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由垂徑定理，可得CM與AB垂直，即CM與PM垂直，根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0，可以構(gòu)造x，y的關(guān)系式，即可得到弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）直線l：mx-y+2-m=0即m（x-1）-（y-2）=0
過(guò)定點(diǎn)P（1，2），且1²+（2-1）²＜5，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，
故直線l與圓C必有兩個(gè)交點(diǎn)．（4分）
（2）設(shè)M（x，y），則有CM⊥AB，
∴

CM

•

PM

=0，（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，
即∴x²+y²-x-3y+2=0，即為點(diǎn)M的軌跡方程．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)直線方程判斷出直線恒過(guò)（1，2）點(diǎn)，而（2）的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得到

CM

•

PM

=0．