Question

在平面內，若三角形的面積為S，周長為C，則此三角形的內切圓的半徑r=

2S

C

；在空間中，三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，利用類比推理的方法，求得此三棱錐P-ABC的內切球（球面與三棱錐的各個面均相切）的半徑R=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：由平面內三角形的內切圓的半徑r=

2S

C

類比推理得出空間中三棱錐內切球的半徑R=

3V

s1+s2+s3+s4

；代入計算即可．

解答： 解：∵平面內，三角形的面積為S，周長為C，則此三角形的內切圓的半徑r=

2S

C

，如圖；
設三角形的邊長為a、b、c，則三角形的面積為

1

2

ra+

1

2

rb+

1

2

rc=

1

2

r（a+b+c）=

1

2

rC=S，
∴內切圓半徑r=

2S

C

；
由此類推，設三棱錐的四個面的面積為s₁、s₂、s₃、s₄，內切球半徑為R，如圖；
則四棱錐的體積為

1

3

Rs₁+

1

3

Rs₂+

1

3

Rs₃+

1

3

Rs₄=

1

3

R（s₁+s₂+s₃+s₄）=V，
∴內切球半徑R=

3V

s1+s2+s3+s4

=

3× 1 2 ×13

3× 1 2 ×12+ 3 4 ×( 2 )2

=

3- 3

6

；
故答案為：

3- 3

6

．

點評：本題考查了用類比推理的方法求三棱錐內切球半徑的問題，是基礎題．