Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)
（3）已知函數(shù)y=x+$\frac{t}{x}$有如下性質(zhì)：
如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數(shù)．
利用上述性質(zhì)，直接寫出函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，x∈（0，5]的單調(diào)區(qū)間，并求值域．

Answer 1

分析 （1）直接將a=-1代入函數(shù)解析式，求出最大最小值．
（2）先求f（x）的對(duì)稱軸x=-a，所以若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[-5，5]在對(duì)稱軸的一邊，所以得到-a≤-5，或-a≥5，這樣即得到了a的取值范圍；
（3）利用函數(shù)y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的對(duì)稱軸為x=1，
∴y=f（x）在區(qū)間[-5，1]單調(diào)遞減，在（1，5]單調(diào)遞增，…2
且f（-5）=37，f（5）=17＜37…3
∴f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（-5）=37…5
（2）∵f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
∴對(duì)稱軸x=-a∉[-5，5]…6
即-a≤-5或-a≥5，即a≥5，或a≤-5…8
（3）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+2a+$\frac{2}{x}$，x∈[-5，5]
且函數(shù)y=x+$\frac{t}{x}$在（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（x）在（0，$\sqrt{2}$）單調(diào)遞減，[$\sqrt{2}$，5]單調(diào)遞增…10
且g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2a，x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
∴g（x）的值域?yàn)閇2$\sqrt{2}$+2a，+∞）…12

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性以及最大最小值問題，屬于常見題型，應(yīng)該熟練掌握．