【題目】已知函數(shù)f(x)= (b∈R).若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,則實(shí)數(shù) b的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣∞,3)
D.(﹣∞, )
【答案】B
【解析】解:∵f(x)=f(x)= ,x>0, ∴f′(x)= ,
∴f(x)+xf′(x)= + = ,
∵存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
∴1+2x(x﹣b)>0
∴b<x+ ,
設(shè)g(x)=x+ ,
∴b<g(x)max ,
∴g′(x)=1﹣ = ,
當(dāng)g′(x)=0時(shí),解的x= ,
當(dāng)g′(x)>0時(shí),即 <x≤2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)g′(x)<0時(shí),即 ≤x<2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取最大值,最大值為g(2)=2+ =
∴b< ,
故選:B.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和直線:,設(shè)圓的半徑為1,圓心在直線上.
(Ⅰ)若圓心也在直線上,過點(diǎn)作圓的切線.
(1)求圓的方程;(2)求切線的方程;
(Ⅱ)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線:和圓:.
(1)求證:直線恒過一定點(diǎn);
(2)試求當(dāng)為何值時(shí),直線被圓所截得的弦長最短;
(3)在(2)的前提下,直線是過點(diǎn),且與直線平行的直線,求圓心在直線上,且與圓相外切的動圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的方程為4ρcosθ﹣ρsinθ﹣25=0,曲線W: (t是參數(shù)).
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線W的普通方程;
(2)若點(diǎn)P在直線l上,Q在曲線W上,求|PQ|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市對高二學(xué)生的期末理科數(shù)學(xué)測試的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布,現(xiàn)從甲校100分以上(含100分)的200份試卷中用系統(tǒng)抽樣中等距抽樣的方法抽取了20份試卷來分析(試卷編號為001,002,…,200),統(tǒng)計(jì)如下:
注:表中試卷編號
(1)寫出表中試卷得分為144分的試卷編號(寫出具體數(shù)據(jù)即可);
(2)該市又從乙校中也用與甲校同樣的抽樣方法抽取了20份試卷,將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖(如圖)在甲、乙兩校這40份學(xué)生的試卷中,從成績在140分以上(含140分)的學(xué)生中任意抽取3人,該3人在全市排名前15名的人數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),對于任意的 ,都有, 當(dāng)時(shí),,且.
( I ) 求的值;
(II) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值;
(III) 設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)g(x)最多有幾個(gè)零點(diǎn),并求出此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:當(dāng)成立時(shí),總可推出
成立,那么下列命題總成立的是( )
A. 若成立,則成立;
B. 若成立,則成立;
C. 若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立;
D. 若成立,則當(dāng)時(shí),均有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對于恒成立,試問是否存在實(shí)數(shù),使得成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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