Question

20．給出下列不等式：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＞1，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{7}$＞$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{15}$＞2…，則按此規(guī)律可猜想第n個不等式為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 觀察不等式，找出不等式中最后一項的分母的通項公式，不等式右邊是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，從而可得到第n個不等式．

解答 解：觀察不等式中最后一項的分母分別是3、7、15、31…
將每個數(shù)加1得4、8、16、32可知通項為2ⁿ⁺¹則3、7、15、31…的通項為2ⁿ⁺¹-1
不等式右邊是首項為1，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
∴按此規(guī)律可猜想第n個不等式為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$．
故答案為1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$．

點評 本題主要考查了類比推理，解題的關(guān)鍵找出不等式的規(guī)律，同時考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．