Question

己知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+

1

2

（x∈R）
（1）當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=

3

，f（C）=2，若向量

m

=（1，a）與向量

n

=（2，b）共線，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，然后，結(jié)合x(chóng)∈[-

π

12

，

5π

12

]，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值；
（2）首先，求解C的大小，然后，利用共線的條件得到b=2a，再結(jié)合余弦定理求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx+sin²x+

1

2

（x∈R）
∴f（x）=

3

2

sin2x

1-cps2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin（2x-

π

6

）+1，
∵-

π

12

≤x≤

5π

12

，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2z-

π

6

）≤1，
從而1-

3

2

≤sin（2x-

π

6

）+1≤2，
則f（x）的最小值是1-

3

2

，最大值是2；
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）+1=2，則sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
∵向量

m

=（1，a）與向量

n

=（2，b）共線，
∴b-2a=0，
即b=2a　　 ①
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

，
即a²+b²-ab=3　�、�
由①②解得a=1，b=2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，向量共線的條件，余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，考查比較綜合，屬于中檔題．