【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),的導(dǎo)函數(shù),且.

1)求實(shí)數(shù)的值;

2)若函數(shù)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求函數(shù)的極值;

3)若關(guān)于的不等式對(duì)于任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2)函數(shù)的極小值為,極大值為;(3.

【解析】

1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由,可求出實(shí)數(shù)的值;

2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)處的切線方程,將點(diǎn)代入切線方程,可求出實(shí)數(shù)的值,然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn),并列表分析函數(shù)的單調(diào)性,由此可得出函數(shù)的極小值和極大值;

3)方法1:由,得,,然后分兩種情況討論,在時(shí)可驗(yàn)證不等式成立,在時(shí),由參變量分離法得,并構(gòu)造函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值,由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍;

方法2:解導(dǎo)數(shù)方程,得出,,然后分,,五種情況討論,分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,再解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

1)因?yàn)?/span>,所以,

又因?yàn)?/span>,所以,解得.

2)因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn),函?shù)處的切線方程為且過(guò)點(diǎn),

,解得.

因?yàn)?/span>,令,得,列表如下:

極大值

極小值

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值

當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值為;

3)方法1:因?yàn)?/span>上恒成立,

所以上恒成立.

當(dāng)時(shí),成立;

當(dāng)時(shí),恒成立,記,

.

,

,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以,即在區(qū)間上恒成立.

當(dāng),令,得,

所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以,所以,,

因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是;

方法2:由(1)知,,

所以.

,得,.

①當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

由題意可知,滿足條件;

②當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

由題意可知,解得;

③當(dāng)時(shí),即時(shí),

函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

由題意可知,解得,所以;

④當(dāng)時(shí),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

由題意可知,解得.

又因?yàn)?/span>,所以

⑤當(dāng)時(shí),即時(shí),

函數(shù)上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

由題意可知,即.

,則,設(shè),

,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

又因?yàn)?/span>時(shí),,所以在區(qū)間上恒成立,所以.

綜上,,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面且邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面為正三角形,其所在平面垂直于底面.

(1)若邊的中點(diǎn),求證:平面.

(2)求證:.

(3)若邊的中點(diǎn),能否在上找出一點(diǎn),使平面 平面?

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

當(dāng)時(shí),判斷直線與曲線的位置關(guān)系;

若直線與曲線相切于點(diǎn),求的值.

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【題目】某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了選修課程的60名學(xué)生,得到數(shù)據(jù)如下表:

喜歡統(tǒng)計(jì)課程

不喜歡統(tǒng)計(jì)課程

合計(jì)

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計(jì)

30

30

60

(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本,從中任選3人,求恰有2個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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【題目】某飲品店提供兩種口味的飲料,且每種飲料均有大杯、中杯、小杯三種容量.甲、乙二人各隨機(jī)點(diǎn)一杯飲料,且甲只點(diǎn)大杯,乙點(diǎn)中杯或小杯,則甲、乙所點(diǎn)飲料的口味相同的概率為______.

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【題目】若無(wú)窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).

1)若具有性質(zhì),且, ,求;

2)若無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說(shuō)明理由;

3)設(shè)是無(wú)窮數(shù)列,已知.求證:對(duì)任意都具有性質(zhì)的充要條件為是常數(shù)列”.

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【題目】已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線交橢圓兩點(diǎn),在直線上存在點(diǎn),使得為等邊三角形,的值.

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【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款,某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,對(duì)運(yùn)動(dòng)10000步或以上的老師授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào),低于10000步稱為“參與者”,為了解老師們運(yùn)動(dòng)情況,選取了老師們?cè)?月28日的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

運(yùn)動(dòng)達(dá)人

參與者

合計(jì)

男教師

60

20

80

女教師

40

20

60

合計(jì)

100

40

140

(Ⅰ)根據(jù)上表說(shuō)明,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)?

(Ⅱ)從具有“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的教師中,采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國(guó)第四屆“萬(wàn)步有約”全國(guó)健走激勵(lì)大賽某賽區(qū)的活動(dòng),若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開幕式,設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為,寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】如圖,已知梯形中,,,,四邊形為矩形,,平面平面

Ⅰ)求證:平面

Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;

Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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