彭山二中決定在新校區(qū)附近修建教師宿舍,學(xué)校行政辦公室用100萬元從政府購(gòu)得一塊廉價(jià)土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元.已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為800元.
(1)若建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和),寫出y=f(x)的表達(dá)式.
(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少元?
分析:(1)第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為720元,第1層樓房建筑費(fèi)用為720×1000=720000(元)=72(萬元);
樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高20×1000=20000(元)=2(萬元);第x層樓房建筑費(fèi)用為72+(x-1)×2=2x+70(萬元);建筑第x層樓時(shí),樓房綜合費(fèi)用=建筑總費(fèi)用(等差數(shù)列前n項(xiàng)和)+購(gòu)地費(fèi)用,由此可得y=f(x);
(2)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x),則g(x)=
f(x)×10000
1000x
(元),代入(1)中f(x)整理,求出最小值即可.
解答:解:(1)由題意知,建筑第1層樓房每平方米建筑費(fèi)用為:720元.
建筑第1層樓房建筑費(fèi)用為:720×1000=720000(元)=72(萬元)
樓房每升高一層,整層樓建筑費(fèi)用提高:20×1000=20000(元)=2(萬元)
建筑第x層樓房建筑費(fèi)用為:72+(x-1)×2=2x+70(萬元)
建筑第x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為:y=f(x)=72x+
x(x-1)
2
×2+100=x2+71x+100

所以,y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z)
(2)設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為g(x),則:
g(x)=
f(x)×10000
1000x
=
10f(x)
x
=
10(x2+71x+100)
x
=10x+
1000
x
+710
≥2
10x•
1000
x
+710
=910,
當(dāng)且僅當(dāng)10x=
1000
x
,即x=10時(shí),等號(hào)成立;
所以,學(xué)校應(yīng)把樓層建成10層.此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米910元.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用,基本不等式a+b≥2
ab
(a>0,b>0)的應(yīng)用;應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),要注意“=”成立的條件.
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