Question

（本小題滿分14分）
已知函數
（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e為自然對數的底數）上的最大值；
（Ⅱ）對任意給定的正實數a，曲線y= f(x)上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵e=  ∴c= a      
∴b²=a²-c²= a²
故所求橢圓為：………………………………（1分）
又橢圓過點（）  ∴   ∴a² ="4.  " b² ="1  " ∴（3分）
(Ⅱ)設P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中點為（x₀,y₀）
將直線y=kx+m與
聯(lián)立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
  ①
又x₀=……………………（5分）
又點［-1，0）不在橢圓OE上，
依題意有
整理得3km=4k²+1  ②……………………………………………………（7分）
由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）
設O到直線l的距離為d，則
S_△OPQ =
=……………………………（10分）
當的面積取最大值1，此時k= 
∴直線方程為y= ……………………………………（12分）

略