某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(t);
(2)據(jù)進一步測定:每毫升血液中含藥量不少于1微克時,治療有效.服藥后多少小時開始有治療效果?治療效果能持續(xù)多少小時?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):lg2=0.301)

解:(1)由題意,當0≤t≤1時,函數(shù)圖象是一個線段,
由于過原點與點(1,4),故其解析式為y=4t,0≤t≤1;
當t≥1時,函數(shù)的解析式為y=a(0.8)t,
此時M(1,4)在曲線上,將此點的坐標代入函數(shù)解析式得4=0.8a,解得a=5
故第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(t)=;
(2)由題意,令f(t)≥1,
即4t≥1,解得t≥0.25,
5(0.8)t≥1,解得t≤log0.80.2==≈7.2
7.2-0.25=6.95
∴服藥后0.25小時開始生效,治療效果能夠持續(xù)約7小時.
分析:(1)由函數(shù)圖象我們不難得到這是一個分段函數(shù),第一段是正比例函數(shù)的一段,第二段是指數(shù)型函數(shù)的一段,由于兩段函數(shù)均過M(1,4),故我們可將M點代入函數(shù)的解析式,求出參數(shù)值后,即可得到函數(shù)的解析式.
(2)由(1)的結論我們將函數(shù)值1代入函數(shù)解析式,構造不等式,可以求出每毫升血液中含藥量不少于1微克時的起始時刻和結束時刻,他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時間.
點評:本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用,以及分段函數(shù)求解析式和指數(shù)不等式的求解,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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(1)寫出第一次服藥后yt之間的函數(shù)關系式;

(2)據(jù)進一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25

微克時,治療有效.

①求服藥一次后治療有效的時間是多長?

②當時,第二次服藥,問時藥效能否持續(xù)?

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