Question

6．如圖，A，B，C三地有直道相通，AB=10 千米，AC=6 千米，BC=8千米．現(xiàn)甲、乙兩人同時從A地出發(fā)勻速前往B地，經(jīng)過t小時，他們之間的距離為f（t）（單位：千米）．甲的路線是AB，速度為10千米/小時，乙的路線是ACB，速度為16千米/小時．乙到達(dá)B地后原地等待．設(shè)t=t₁時乙到達(dá)C地．
（1）求t₁與f（t₁） 的值；
（2）已知對講機(jī)的有效通話距離是3千米，當(dāng)t₁≤t≤1時，求f（t）的表達(dá)式，并判斷f（t） 在[t₁，1]上的最大值是否超過3？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得t₁=$\frac{3}{8}$h，由余弦定理可得f（t₁）=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•ADcosA}$=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$；
（2）當(dāng)t₁=$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{7}{8}$時，由已知數(shù)據(jù)和余弦定理可得f（t）=PQ=2$\sqrt{2{5t}^{2}-42t+18}$，當(dāng)$\frac{7}{8}$＜t≤1時，f（t）=10-10t，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得t₁=$\frac{3}{8}$h，記乙到C時甲所在地為D，則AD=$\frac{15}{4}$（千米）．
在三角形ACD中，由余弦定理f（t₁）=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•ADcosA}$=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$（千米）．
（2）甲到達(dá)B用時1小時，乙到達(dá)C用時$\frac{3}{8}$小時，從A到B總用時$\frac{7}{8}$小時，
當(dāng)t₁=$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{7}{8}$時，
f（t）=$\sqrt{（14-16t）^{2}+（10-10t）^{2}-2（14-16t）（10-10t）•\frac{4}{5}}$=2$\sqrt{2{5t}^{2}-42t+18}$，
當(dāng)$\frac{7}{8}$＜t≤1時，f（t）=10-10t，
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}，\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}}\\{10-10t，\frac{7}{8}＜t≤1}\end{array}\right.$，
因?yàn)閒（t）在[$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{8}$]上的最大值是f（$\frac{3}{8}$）=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$，f（t）在[$\frac{7}{8}$，1]上的最大值是f（$\frac{7}{8}$）=$\frac{5}{4}$，
所以f（t）在[$\frac{3}{8}$，1]上的最大值是$\frac{3\sqrt{41}}{4}$，超過3．

點(diǎn)評 本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及余弦定理和分段函數(shù)，屬中檔題．