Question

（2012•寧城縣模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，

3

2

)，其離心率為

1

2

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l的斜率為k，且經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+

OB

，試判斷是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使點(diǎn)P在橢圓C上，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為

1

2

，可得3a²=4b²，利用點(diǎn)M(1，

3

2

)在橢圓C上，可得

1

a2

+

9

4b2

=1，由此可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用

OP

=

OA

+

OB

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理，可得P的坐標(biāo)，設(shè)P在橢圓C上，利用橢圓方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①
又點(diǎn)M(1，

3

2

)在橢圓C上，所以

1

a2

+

9

4b2

=1②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ） 橢圓C的右焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）
則由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1.

消y化簡(jiǎn)整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0------（7分）
設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），則
∵

OP

=

OA

+

OB

∴x0=x1+x2=

8k2

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)-2k=-

6k

3+4k2

．-------------（9分）
設(shè)P在橢圓C上，所以 

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
從而

16k4

(3+4k2)2

+

12k2

(3+4k2)2

=1，化簡(jiǎn)得4k²=3+4k²，無(wú)解
所以不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使點(diǎn)P在橢圓C上------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．