【題目】已知,函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若,且時(shí)有極大值點(diǎn),求證:.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析

【解析】

1)對(duì)求導(dǎo),分,,進(jìn)行討論,可得函數(shù)的單調(diào)性;

2)將代入,對(duì)求導(dǎo),可得,再對(duì)求導(dǎo),可得函數(shù)有唯一極大值點(diǎn),且.

可得,設(shè),對(duì)其求導(dǎo)后可得.

解:(1,

,時(shí),,所以可解得:函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;

經(jīng)計(jì)算可得,時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.

綜上:時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;

時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.

2)若,則,

,

設(shè),則,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,即單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,即單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>可知:,

,且,

,使得,且時(shí),單調(diào)遞增,

時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,

所以函數(shù)有唯一極大值點(diǎn),

.

.

所以,

設(shè)),則,

單調(diào)遞增,,,又因?yàn)?/span>

.

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