Question

【題目】設(shè)向量， ，記

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)試用“五點法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到；

(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋m， 的最小值為2，試求出函數(shù)g(x)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：(1)利用平面向量的數(shù)量積公式、配角公式進行化簡，再利用周期公式進行求解；(2)利用整體思想和“五點作圖法”進行求解，再利用圖象變換得到變化過程；（3）利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

試題解析：(1)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋

＝sin(2x＋)＋，

∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)列表如下：

x	－
2x＋	0		π		2π
sin(2x＋)	0	1	0	－1	0
y				－

描點，連線得函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡圖如圖所示：

y＝sin x的圖象向左平移個單位長度后得到y＝sin(x＋)的圖象，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的后得到y＝sin(2x＋)的圖象，最后將y＝sin(2x＋)的圖象向上平移個單位長度后得到y＝sin(2x＋)＋的圖象．

(3)g(x)＝f(x)＋m＝sin(2x＋)＋＋m.

∵x∈，∴2x＋∈，∴sin(2x＋)∈，

∴g(x)的值域為.

又函數(shù)g(x)的最小值為2，∴m＝2，∴g(x)max＝＋m＝.