Question

3．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（3）＞f（0），且對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義，證明即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，轉(zhuǎn)化為不等式，通過分離常數(shù)法以及基本不等式求解即可．

解答 解：（1）證明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）解：因?yàn)閒（3）＞f（0），
又f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f（x）在R上是增函數(shù)，
又由（1）f（x）是奇函數(shù)．
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
k•3^x＜-3^x+9^x+2，
令t=3^x＞0，分離系數(shù)得：$k＜-1+t+\frac{2}{t}$，
問題等價(jià)于$k＜-1+t+\frac{2}{t}$，對任意t＞0恒成立．
∵$-1+t+\frac{2}{t}≥-1+2\sqrt{2}$，
∴$k＜-1+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．