已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列對(duì)應(yīng)值如下表:
x -
π
6
π
3
6
3
11π
6
3
17π
6
y -1 1 3 1 -1 1 3
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,若函數(shù)y=f(kx)(k>0)周期為
3
,當(dāng)x∈[0,
π
3
]
時(shí),方程f(kx)=m恰有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù),求出周期T,解出ω,利用最小值、最大值求出A、B,結(jié)合周期求出φ,可求函數(shù)f(x)的一個(gè)解析式.
(2)函數(shù)y=f(kx)(k>0)周期為
3
,求出k,x∈[0,
π
3
]
,推出3x-
π
3
的范圍,畫出圖象,數(shù)形結(jié)合容易求出m的范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)f(x)的最小正周期為T,得T=
11π
6
-(-
π
6
)=2π

T=
ω
,得ω=1,
B+A=3
B-A=-1
,解得
A=2
B=1

ω•
6
+φ=
π
2
,即
6
+φ=
π
2
,解得φ=-
π
3
,
f(x)=2sin(x-
π
3
)+1

(2)∵函數(shù)y=f(kx)=2sin(kx-
π
3
)+1
的周期為
3

又k>0,∴k=3,
t=3x-
π
3
,∵x∈[0,
π
3
]
,∴t∈[-
π
3
,
3
]

如圖,sint=s在[-
π
3
,
3
]
上有兩個(gè)不同的解,則s∈[
3
2
,1)

∴方程f(kx)=m在x∈[0,
π
3
]
時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解,則m∈[
3
+1,3)
,
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[
3
+1,3)
點(diǎn)評(píng):本題考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的周期性及其求法,考查作圖能力,是基礎(chǔ)題.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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