【題目】如圖，在三棱柱中，底面，，，分別是棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且//平面.

（1）求的值；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）求的值，關(guān)鍵是找在的位置，注意到平面，有線面平行的性質(zhì)，可得，由已知為中點(diǎn)，由平面幾何知識可得為中點(diǎn)，從而可得的值；（2）求證：，有圖觀察，用傳統(tǒng)方法比較麻煩，而本題由于底面，所以，，又，這樣建立空間坐標(biāo)比較簡單，故以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取，可寫出個點(diǎn)坐標(biāo)，從而得向量的坐標(biāo)，證即可；（3）求二面角的余弦值，由題意可得向量是平面的一個法向量，只需求出平面的一個法向量，可設(shè)平面的法向量，利用，即可求出平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值．

（1）因為平面

又平面，平面平面，

所以. 3分

因為為中點(diǎn)，且側(cè)面為平行四邊形

所以為中點(diǎn)，所以. 4分

（2）因為底面，

所以，， 5分

又，

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由可得 6分

因為分別是的中點(diǎn)，

所以. 7分

. 8分

所以，

所以. 9分

（3）設(shè)平面的法向量，則

即 10分

令，則，所以. 11分

由已知可得平面的法向量 11分

所以 13分

由題意知二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為. 14分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分別是棱CC1，AB的中點(diǎn)．

（1）求證：CN⊥平面ABB1A1；

（2）求證：CN∥平面AMB1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

求不等式的解集；

若函數(shù)的最小值為，整數(shù)、滿足，求證.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為， 分別為與軸， 軸的交點(diǎn).

（1）寫出的直角坐標(biāo)方程，并求的極坐標(biāo)；

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求直線的極坐標(biāo)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， 為曲線在點(diǎn)處的切線．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）當(dāng)時，證明：除切點(diǎn)之外，曲線在直線的下方．

（Ⅲ）設(shè)， ， ，且滿足，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 且.
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若在處取到極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：

， ．

其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．

若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)．

（Ⅰ）檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和．

（Ⅱ）對任何具有性質(zhì)的集合，證明．

（Ⅲ）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．

⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn)，求的方程；

⑵ 若，求證：當(dāng)時， 恒成立；

⑶ 若當(dāng)時， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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