Question

已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=log_a^（x+1）（a＞1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+m為奇函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)m的值；
（3）當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，進(jìn)而可得M（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N的坐標(biāo)，代入f（x）中進(jìn)而求得x和y的關(guān)系式．
（2）跟函數(shù)F（x）為奇函數(shù)求得F（-x）=-F（x）代入解析式即可求得m的值．
（3）利用f（x）+g（x）≥n求得loga

1+x

1-x

≥n，設(shè)Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，只要Q（x）_min≥n即可，根據(jù)F(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函數(shù)進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，求得n的范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點(diǎn)，
則M（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N（-x，-y）
N在函數(shù)f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1）
（2）∵F（x）=log_a^（x+1）-log_a^（1-x）+m為奇函數(shù)．
∴F（-x）=-F（x）
∴l(xiāng)og_a^（1-x）-log_a^（1+x）+m=-log_a^（1+x）+log_a^（1-x）-m
∴2m=loga

1+x

1-x

+loga

1-x

1+x

=loga1=0，∴m=0
（3）由f(x)+g(x)≥n得，loga

1+x

1-x

≥n
設(shè)Q(x)=loga

1+x

1-x

，x∈[0，1)，由題意知，只要Q（x）_min≥n即可
∵Q(x)=loga(-1+

2

1-x

)在[0，1）上是增函數(shù)
∴n≤0

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．