【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)證明CD⊥AE;
(2)證明PD⊥平面ABE;
(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
【答案】
(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE平面PAC,
∴CD⊥AE;
(2)證明:∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD∴PA⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD,又PD平面PAD∴AB⊥PD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,則△ABC是正三角形.
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中點∴AE⊥PC
由(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD,又AB⊥PD,AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE;
(3)解:過E點作EM⊥PD于M點,連結AM,
由(2)知AE⊥平面PCD,則AE⊥PD,
則PD⊥平面AEM,∴AM⊥PD,
則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.
設AC=a,AD= = ,PA=A,PD= = a,
AM= = = ,
在Rt△AEM中,AE= a,EM= = = a,
則tan∠AME= = = .
【解析】(1)運用線面垂直的判定和性質定理即可得證CD⊥AE;(2)運用線面垂直的性質和判定定理,即可得到PD⊥平面ABE;(3)過E點作EM⊥PD于M點,連結AM,由(2)知AE⊥平面PCD,則AM⊥PD,則∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.通過解三角形AEM,即可得到所求值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某印刷廠的打印機每5年需淘汰一批舊打印機并購買新機,買新機時,同時購買墨盒,每臺新機隨機購買第一盒墨150元,優(yōu)惠0元;再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎上多優(yōu)惠一元,即第一盒墨沒有優(yōu)惠,第二盒墨優(yōu)惠一元,第三盒墨優(yōu)惠2元,……,依此類推,每臺新機最多可隨新機購買25盒墨.平時購買墨盒按零售每盒200元.
公司根據(jù)以往的記錄,十臺打印機正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表:
消耗墨盒數(shù) | 22 | 23 | 24 | 25 |
打印機臺數(shù) | 1 | 4 | 4 | 1 |
以這十臺打印機消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺打印機消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率,記ξ表示兩臺打印機5年消耗的墨盒數(shù).
(1)求ξ的分布列;
(2)若在購買兩臺新機時,每臺機隨機購買23盒墨,求這兩臺打印機正常使用五年在消耗墨盒上所需費用的期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:y=4x和點P(6,4),點A為第一象限內的點且在直線l上,直線PA交x軸正半軸于點B,
(1)當OP⊥AB時,求AB所在直線的直線方程;
(2)求△OAB面積的最小值,并求當△OAB面積取最小值時的B的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣alnx+ (a∈R) (Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調區(qū)間;
(Ⅱ)若a=﹣1,求證:當x>1時,f(x)< x3 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= +a(a∈R)為奇函數(shù)
(1)求a的值;
(2)當0≤x≤1時,關于x的方程f(x)+1=t有解,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若點P在橢圓 +y2=1上,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點,且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在英國的某一娛樂節(jié)目中,有一種過關游戲,規(guī)則如下:轉動圖中轉盤(一個圓盤四等分,在每塊區(qū)域內分別標有數(shù)字1,2,3,4),由轉盤停止時指針所指數(shù)字決定是否過關.在闖關時,轉次,當次轉得數(shù)字之和大于時,算闖關成功,并繼續(xù)闖關,否則停止闖關,闖過第一關能獲得10歐元,之后每多闖一關,獎金翻倍,假設每個參與者都會持續(xù)闖關到不能過關為止,并且轉盤每次轉出結果相互獨立.
(1)求某人參加一次游戲,恰好獲得10歐元的概率;
(2)某人參加一次游戲,獲得獎金歐元,求的概率分布和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導數(shù),f″(x)是f′(x)的導數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.若,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷函數(shù)的對稱中心為( )
A. (,1) B. (-,1) C. (,-1) D. (-,-1)
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