Question

【題目】我們稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”；①；②.

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若一個(gè)等差數(shù)列既是（）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（1）是；（2），或；（3）.

【解析】

(1)由通項(xiàng)公式，利用分組求和法可證明；；從而可得結(jié)論；（2）先證明，由①，得，由②得或，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，根據(jù)既是（）階“期待數(shù)列”，求出首項(xiàng)與公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.

(1)∵，

所以，

∴ ，

，

所以數(shù)列為2014階“期待數(shù)列”；

（2）若，由①得，，得，矛盾

若，則由①，得，由②得或，

所以，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；

（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，

∵，∴，即，

∵，由，得，

由①、②知，兩式相減得，∴，

又，得，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是.