(2012•廣東模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S是該三角形的面積.
(1)若
a
=(2sin
B
2
cosB,sinB-cosB)
,
b
=(sinB+cosB,2sin
B
2
)
,
a
b
,求角B的度數(shù);
(2)若a=8,B=
3
S=8
3
,求b的值.
分析:(1)由兩向量的坐標及兩向量平行,根據(jù)平面向量的數(shù)量積法則列出關系式,再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡,整理后得出cosB的值,由B為三角形的內角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(2)由B的度數(shù)求出sinB的值,再由a,已知三角形的面積S,利用三角形的面積公式求出c的值,再由a,c及cosB的值,利用余弦定理即可求出b的值.
解答:解:(1)∵
a
=(2sin
B
2
cosB,sinB-cosB)
,
b
=(sinB+cosB,2sin
B
2
)
a
b
,
∴4cosB•sin2
B
2
+cos2B=0,
∴4cosB•
1-cosB
2
+2cos2B-1=0,
∴cosB=
1
2
,
∵∠B∈(0,180°),
∴∠B=60°;…(6分)
(2)∵S=8
3
,
1
2
acsinB=8
3
,…(7分)
又a=8,B=
3
,
∴c=4,…(8分)
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB=82+42-2•8•4cos120°=112,…(10分)
則b=4
7
.…(12分)
點評:此題考查了平面向量的數(shù)量積運算,余弦定理,三角形的面積公式,二倍角的余弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.
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2
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