Question

已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則M=

a+3b+4c

b-a

的最小值是

2

5

+5

．

Answer 1

分析：由題意可得4ac≥b²，而M=

a2+3ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+3ab+b2

ab-a2

=

1+3• b a +( b a )2

b a -1

，令

b

a

=t，M可化為M=（t-1）+

5

t-1

+5，下由基本不等式可得．

解答：解：由題意，ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，
則必有△=b²-4ac≤0，a＞0，即4ac≥b²
對于M=

a+3b+4c

b-a

，分子、分母同乘a可得，
M=

a2+3ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+3ab+b2

ab-a2

=

1+3• b a +( b a )2

b a -1

令

b

a

=t，∵a＜b，a＞0，∴t＞1，
故M=

t2+3t+1

t-1

=

(t-1)2+5(t-1)+5

t-1

=（t-1）+

5

t-1

+5
≥2

(t-1) 5 t-1

+5=2

5

+5，當(dāng)且僅當(dāng)t=

5

+1，即b=（

5

+1）a時等號成立，
故答案為：2

5

+5

點(diǎn)評：本題為基本不等式求最值，涉及二次不等式恒成立以及代數(shù)式的變形，屬基礎(chǔ)題．