Question

11．設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|=3|BF|，則l的斜率為±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，求出A，B的橫坐標(biāo)，由|AF|=3|BF|得到x₁=3x₂+2，代入A，B的坐標(biāo)得答案．

解答 解：由y²=4x，得F（1，0），
設(shè)AB所在直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
結(jié)合|AF|=3|BF|，
解方程得：x₁=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$，x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$．
再由|AF|=3|BF|，
得x₁+1=3（x₂+1），即
x₁=3x₂+2，
∴$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$=3（$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}}$）+2，
解得：k=±$\sqrt{3}$．
故答案為：±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了拋物線的定義，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．