Question

3．在如圖1所示的平面圖形中，△ADE是等腰三角形且AE=DE=$\sqrt{5}$，四邊形ABCD為矩形，AD=2，CD=$\sqrt{2}$，△BCF為直角三角形．把△ADE與△BCF分別沿AD、BC折成如圖2所示的幾何體，且平面ADE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，

（1）求證：BD⊥EF；
（2）若CF=1，試求EF與面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中點H，連接EH、CH，說明AD⊥EH，證明EH⊥平面ABCD，說明E，H，C，F(xiàn)四點共面．證明DCH=∠CBD，推出BD⊥CH；證明BD⊥面EHCF，推出BD⊥EF．
（2）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CF為z軸建立空間直角坐標系．求出平面BDE的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解EF與面BDE所成角的正弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）取AD中點H，連接EH、CH，
由△ADE是等邊三角形知：AD⊥EH，…（1分）
∵平面ADE⊥平面ABCD，AD為面ADE與面ABCD的交線，
∴EH⊥平面ABCD，…（2分）
而CF⊥平面ABCD，故EH∥CF，從而E，H，C，F(xiàn)四點共面．  …（3分）
在Rt△DCH中，$tan∠DCH=\frac{DH}{DC}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
在Rt△DCB中，$tan∠CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴∠DCH=∠CBD，…（4分）
∴∠DCH+∠BDC=∠CBD+∠BDC=90°，則BD⊥CH；…（5分）
∴BD⊥面EHCF，
∴BD⊥EF．…（6分）



解：（2）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CF為z軸建立空間直角坐標系．
在Rt△EDH中，$EH=\sqrt{E{D^2}-D{H^2}}=\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{1^2}}=2$，…（7分）
則：B（0，2，0），$D（{\sqrt{2}_{\;}}，{0_{\;}}，0）$，$E（\sqrt{2}，1，2）$，F(xiàn)（0，0，1），
則：$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{2}，-2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（\sqrt{2}，-1，2）$，$\overrightarrow{EF}=（-\sqrt{2}，-1，-1）$，…（8分）
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow n⊥{\overrightarrow{BD}_{\;}}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BE}$得：$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-2y=0}\\{\sqrt{2}x-y+2z=0}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}y}\\{z=-\frac{1}{2}y}\end{array}}\right.$，令y=2，則：$\overrightarrow n=（2\sqrt{2}，2，-1）$，…（10分）
則$cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow n＞=\frac{-4-2+1}{{2×\sqrt{13}}}=-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$，
∴EF與面BDE所成角的正弦值為$\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$．         …（12分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．