Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

3

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，列出關(guān)于等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)與公差的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，利用裂項(xiàng)法求和，從而可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得

a1=6 d=4

或

a1=14 d=0

(舍去)，
∴a_n=4n+2；
（2）

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

3

8

-

1

4

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∴Tn＜

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，突出裂項(xiàng)法求和的考查，屬于中檔題．