Question

【題目】解答
（1）已知實數(shù)a，b滿足|a|＜2，|b|＜2，證明：2|a+b|＜|4+ab|；
（2）已知a＞0，求證： ﹣ ≥a+ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一∵|a|＜2，|b|＜2，∴a2＜4，b2＜4，

∴4﹣a2＞0，4﹣b2＞0．∴（4﹣a2）（4﹣b2）＞0，即16﹣4a2﹣4b2+a2b2＞0，

∴4a2+4b2＜16+a2b2，∴4a2+8ab+4b2＜16+8ab+a2b2，

即（2a+2b）2＜（4+ab）2，

∴2|a+b|＜|4+ab|．

證法二：要證2|a+b|＜|4+ab|，

只需證4a2+4b2+8ab＜16+a2b2+8ab，

只需證4a2+4b2＜16+a2b2，

只需證16+a2b2﹣4a2﹣4b2＞0，即（4﹣a2）（4﹣b2）＞0．

∵|a|＜2，|b|＜2，∴a2＜4，b2＜4，

∴（4﹣a2）（4﹣b2）＞0成立．

∴要證明的不等式成立

（2）證明：要證 ﹣ ≥a+ ﹣2，

只需證 +2≥a+ + ，

只需證a2+ +4+4 ≥a2+ +2+2 +2，

即證2 ≥ ，

只需證4 ≥2 ，

即證a2+ ≥2，此式顯然成立．∴原不等式成立．

【解析】（1）法一：根據(jù)綜合法證明即可；法二：根據(jù)分析法證明即可；（2）根據(jù)分析法證明即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．