Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．已知a₄=2，S₅=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）設(shè)，R_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N^*，均有成立？若存在，求出m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，根據(jù)題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解上面方程組首項(xiàng)及公差，最后寫(xiě)出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式即可；
（2）先由a_n≥0且a_n+1＜0，解得數(shù)列從第五項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，從而利用分段函數(shù)結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫(xiě)出T_n即可；
（3）由，利用裂項(xiàng)相消求和得R_n，利用R_n單調(diào)遞增，即是數(shù)列R_n的最小值，即可求得m的最大值．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列a_n的公差為d，則．（2分）
解上面方程組得..（3分）
所以，數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式為a_n=8+（n-1）•（-2）
即a_n=10-2n..（4分）
（2）由a_n≥0且a_n+1＜0，解得
當(dāng)n≤5時(shí)T_n=-n²+9n；（5分）
當(dāng)n＞5時(shí)T_n=n²-9n+40；（7分）
所以，（n∈N^*）（8分）
（3）由，裂項(xiàng)相消求和得（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181817039484755/SYS201310241818170394847020_DA/7.png">，所以R_n單調(diào)遞增，即是數(shù)列R_n的最小值，（12分）
要使對(duì)n∈N^*總成立，只須，
所以m＜8又因?yàn)閙∈Z，所以m的最大值為7（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列的求和、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．