Question

18．已知f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$．
（1）證明：f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R內(nèi)的增函數(shù)；
（2）求出函數(shù)在x→-∞時(shí)和x→+∞時(shí)的極限值，進(jìn)而可得函數(shù)的值域．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{4•ln10•{10}^{2x}}{（1{0}^{2x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定義域R內(nèi)的增函數(shù)；
（2）當(dāng)x→-∞時(shí)，10^2x→0，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→2，f（x）→-1，
當(dāng)x→+∞時(shí)，10^2x→+∞，$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$→0，f（x）→1，
故f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，極限運(yùn)算，難度中檔．