Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），滿足條件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），③當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；       
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．

Answer 1

分析 （1）由條件先得到f（1）=0，再得到f（-1）=0，根據(jù)f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），可得f（x）是偶函數(shù)．
（2）任意取x₂＞x₁＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，由$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，可得f（x₂）＞f（x₁），可得f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，再利用函數(shù)為偶函數(shù)，得出結(jié)論．
（3）原不等式可轉(zhuǎn)化為f（x（x-3））≤f（4），可得|x（x-3）|≤4，解得x的范圍．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
滿足條件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），
由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），得f（1）=0．
由f（1）=f（[-1]×[-1]）=2f（-1）=0，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）根據(jù)當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，任意取x₂＞x₁＞0，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴$f（{x_2}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）$，∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由f（x•y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3））．
又f（4）=f（2×2）=2f（2）=2，∴原不等式可轉(zhuǎn)化為f（x（x-3））≤f（4）．
∵f（x）是偶函數(shù)，∴|x（x-3）|≤4，解得：-1≤x≤4，且x≠0，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集是[-1，0）∪（0，4]．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，屬于中檔題．