Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥平面CDF；
（2）已知點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)$\frac{CN}{AC}$為何值時(shí)，平面PDN∥平面BEM？

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DC⊥PC，DC⊥BC，從而DC⊥PB，再求出CF⊥PB，由此能證明PB⊥平面CDF．
（2）過(guò)點(diǎn)D作交BC于G，連接PG，當(dāng)N是AC與DG的交點(diǎn)時(shí)，平面PDN∥平面BEM，由此能求出當(dāng)$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，平面PDN∥平面BEM．

解答 證明：（1）∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴DC⊥PC，DC⊥BC，又PC∩BC=C，∴DC⊥平面PBC，…（2分）
∴DC⊥PB．…（4分）
∵BC=PC，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，∴CF⊥PB．…（5分）
∵DC∩CF=C，∴PB⊥平面CDF．…（6分）
解：（2）過(guò)點(diǎn)D作交BC于G，連接PG，…（7分）
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴EM∥PD，…（8分）
∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，…（9分）
∴當(dāng)N是AC與DG的交點(diǎn)時(shí)，平面PDN∥平面BEM，…（10分）
∴在矩形ABCD中，由題意得$\frac{CN}{AC}=\frac{1}{3}$．
故當(dāng)$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，平面PDN∥平面BEM．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查滿足面面平行的點(diǎn)的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．