Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1若對(duì)任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[\frac{2}{9}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n+1，即S_n+1-S_n=2S_n+1，變形為S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n．代入（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n+1，∴S_n+1-S_n=2S_n+1，∴S_n+1+$\frac{1}{2}$=3（S_n+$\frac{1}{2}$），
∴數(shù)列{S_n+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3．
∴S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，化為：S_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
代入（S_n+$\frac{1}{2}$）•k≥$\frac{1}{3}$，化為：k≥$\frac{2}{{3}^{n+1}}$恒成立，而{$\frac{2}{{3}^{n+1}}$}單調(diào)遞減，
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{2}{{3}^{n+1}}$取得最大值$\frac{2}{9}$．
∴$k≥\frac{2}{9}$．
故答案為：$[\frac{2}{9}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．