如圖,在棱長為1的正方體AC1中,E、F分別為A1D1和A1B1的中點.
(1)求異面直線AF和BE所成的角的余弦值:
(2)求平面ACC1與平面BFC1所成的銳二面角:
(3)若點P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上,且EP∥平面BFC1,求EP的取值范圍.
分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量
AF
、
BE
,利用向量的夾角公式,可求異面直線AF和BE所成的角的余弦值:
(2)確定平面ACC1、平面BFC1的法向量,利用向量的夾角公式,即可求得平面ACC1與平面BFC1所成的銳二面角;
(3)用坐標(biāo)表示出
EP
=(x-
1
2
,y,-1)
,求出模長,利用配方法,即可求得EP的取值范圍.
解答:解:(1)以D為原點,DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),E(
1
2
,0,1),B(1,1,0),F(xiàn)(1,
1
2
,1).
AF
=(0,
1
2
,1),
BE
=(-
1
2
,-1,1),
∴cos
AF
,
BE
=
1
2
1
4
+1
×
1
4
+1+1
=
2
5
15

(2)平面ACC1的一個法向量為
DB
=(1,1,0)

設(shè)平面BFC1的法向量為
n
=(x,y,z)

n
BF
=0
n
BC
=0
,可得
-
1
2
y+z=0
-x+z=0
,
x=z
y=2z
,可取z=1,則
n
=(1,2,1)

∴cos
DB
,
n
=
DB
n
|
DB
||
n
|
=
1+2
2
×
6
=
3
2

DB
n
為銳角
∴所求的銳二面角為
π
6
;
(3)設(shè)P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),則
EP
=(x-
1
2
,y,-1)

EP
n
=0
(x-
1
2
)+2y-1=0
,即x=-2y+
3
2
,
∵0≤x≤1,∴0≤-2y+
3
2
≤1,∴
1
4
≤y≤
3
4

EP
=(x-
1
2
,y,-1)

|
EP
|
=
5y2-4y+2
=
5(y-
2
5
)2+
6
5

1
4
≤y≤
3
4
,∴當(dāng)y=
2
5
時,|
EP
|min
=
30
5
;當(dāng)y=
3
4
時,|
EP
|max
=
29
4
,
故EP的取值范圍為[
30
5
,
29
4
].
點評:本題考查向量知識的運用,考查線線角、面面角,考查線段長的取值范圍,考查學(xué)生的計算能力,用坐標(biāo)表示向量是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,在棱長都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AA1,B1C的中點.
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1C⊥平面BDE.

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如圖,一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點O在平面α內(nèi),底面ABC平行于平面α,平面OBC與平面α的交線為l.
(1)當(dāng)平面OBC繞l順時針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時,求平面OBC轉(zhuǎn)過角的正弦
值.
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問在線段OA上是否存在一點P,使O1P⊥OBC?請說明理由.

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值.
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點為O1.當(dāng)AO⊥平面α?xí)r,問在線段OA上是否存在一點P,使O1P⊥OBC?請說明理由.

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