Question

【題目】已知函數(shù)的極大值為,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù),對任意,恒成立.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）求函數(shù)定義域,然后對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得出時,有極大值,即可算出實數(shù)的值.

（2）（i）由（1）知,,代入中,根據(jù),整理至即對恒成立,設(shè)新函數(shù),將原問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立,分的取值范圍分類討論即可得出實數(shù)的取值范圍.（ii）要證,

轉(zhuǎn)化為證證,整理至,設(shè)兩個新函數(shù),,分別對兩個新函數(shù)求導(dǎo),判斷單調(diào)性,即可證得成立.

解：（1）的定義域為,

,

令,解得：,

令,解得：,

所以當,為增函數(shù),當,為減函數(shù),

所以時,有極大值,

所以;

（2）（i）由（1）知,,

則,即對恒成立,

所以對恒成立,

即對恒成立,

設(shè),則對恒成立,

,

設(shè),,

原問題轉(zhuǎn)化為：對恒成立,

①若,當時,

則,

不合題意;

②若,則對恒成立,

符合題意

③若,則,

令,,令,,

所以當時,為減函數(shù),

當時,為增函數(shù),

所以,

即,即;

綜上.

（ii）要證,

只需證,

即,即,

只需證,

設(shè),,

因為

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以：

因為恒成立,

所以在上單調(diào)遞增,

所以,則,則,

由（2）可知,,所以;

所以,

即,得證.

所以 成立.