已知拋物線C:x2=2py,過(guò)點(diǎn)A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.
分析:(1)根據(jù)OM⊥ON,可得x1x2+y1y2=0,把至西安的方程代入拋物線方程后把根與系數(shù)的關(guān)系代入x1x2+y1y2=0 求出p的值,即得拋物線方程.
(2)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),分三種情況討論等腰三角形的底邊,求出MN的斜率,用點(diǎn)斜式求得MN的方程.
解答:解:(1)設(shè)M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),∵OM⊥ON,∴x
1x
2+y
1y
2=0,
由
得x2-2pkx-8p=0…(*)得
x1x2=-8p,y1y2=•=16,
所以-8p+16=0,p=2,拋物線方程為x
2=4y.
(2)方程(*)為x
2-4kx-16=0,則得
?,且Q(x
2,-4)
①若△MNQ是以MQ為底邊的等腰三角形,
KOM===,
KOQ==,
所以M,O,Q三點(diǎn)共線,而MQ⊥ON,所以O(shè)為MQ的中點(diǎn),則x
1+x
2=0,k=0,則直線MN的方程為y=4.
②若△MNQ是以NQ為底邊的等腰三角形,作MG∥x軸交QN于G,G(x
2,y
1),則G為QN中點(diǎn),2y
1+4=y
2,
又
,得
k=±,則直線MN的方程為
y=±x+4.
③若△MNQ是以NM為底邊的等腰三角形,則MN的中點(diǎn)P(2k,2k
2+4),且
x2=2k±,
由QP⊥MN,得
=-,
±=-,
得
或?k=±,所以直線MN的方程為
y=±x+4.
綜上,當(dāng)△QMN為等腰三角形時(shí),直線MN的方程為:y=4,或y=±
x+4,或y=±
x+4.
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,用點(diǎn)斜式求出直線的方程,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,求出直線的斜率,是解題的關(guān)鍵.