Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=2，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左，右焦點(diǎn)，過F₂作x軸的垂線與雙曲線在第一象限交于P點(diǎn)，直線F₁P與右準(zhǔn)線交于Q點(diǎn)，已知

F1P

•

F2Q

=-

15

64

（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)過F₁的直線MN分別與左支，右支交于M、N，線段MN的垂線平分線l與x軸交于點(diǎn)G（x₀，0），若1≤|NF₂|＜3，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)殡p曲線的離心率e=2，所以可得含a，c的等式，再由

F1P

•

F2Q

=-

15

64

，可求出a值，結(jié)合a，b，c的關(guān)系式，就能求出b，雙曲線的方程可知．
（2）因?yàn)橹本�MN過F₁點(diǎn)，可設(shè)出點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，再因?yàn)榫�段MN的垂線平分線l與MN斜率互為負(fù)倒數(shù)，且過MN中點(diǎn)，所以線段MN的垂線平分線l方程可以寫出，再因?yàn)榭捎镁�段MN的垂線平分線l與x軸交于點(diǎn)G（x₀，0），可用含k的式子表示x₀，再根據(jù)1≤|NF₂|＜3，求x₀的范圍即可．

解答：解：（1）∵e=2⇒c=2a，F(xiàn)₁（-2a，0），F(xiàn)₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
設(shè)Q(

a

2

，t)∵F₁，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線∴t=

15a

8

∵

F1Q

•

F2Q

=-

15

64

得a²=1
∴x2-

y2

3

=1
（2）設(shè)MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵x1+x2=

4k2

3-k2

∴l：y-

6k

3-k2

=-

1

k

(x-

2k2

3-k2

)
∵l過Q（x₀，0）∴x0=

8k2

3-k2

∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）

y12=k2(x1+2)2 y12=3x12-3

⇒k2=

3x12-3

(x1+2)2

令f(x1)=

x12-1

(x1+2)2

∵f′(x1)=

2(2x1+1)

(x1+2)3

＞0
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上單調(diào)遞增
得 k2∈[0，

9

16

)∵x0=8(-1+

3

3-k2

)∴x0∈[0，

24

13

)

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析．